一、 重点
两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用
二、 难点
对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。
三、 内容提要
1． 曲线（面）积分的定义：
（1） 第一类曲线积分
（存在时）
表示第i个小弧段的长度，（ ）是 上的任一点小弧段的最大长度。
实际意义：
当f(x,y)表示L的线密度时， 表示L的质量；当f(x,y) 1时， 表示L的弧长，当f(x,y)表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高时， 表示此柱面的面积。
（2） 第二类曲线积分
(存在时)
实际意义：
设变力 =P(x,y) +Q(x,y) 将质点从点A沿曲线L移动到B点，则 作的功为：
，其中 =（dx,dy）事实上， ， 分别是 在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。
（3） 第一类曲面积分
(存在时)
表示第i个小块曲面的面积，（ ）为 上的任一点， 是n块小曲面的最大直径。
实际意义：
当f(x,y，z)表示曲面 上点（x,y,z）处的面密度时， 表示曲面 的质量，当f(x,y,z) 1时， 表示曲面 的面积。
（4） 第二类曲面积分
（存在时）
其中 ， ， 分别表示将 任意分为n块小曲面后第I块 在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分别表示这三种投影元素; （ ）为 上的任一点， 是n块小曲面的最大直径。
实际意义：
设变力 =P(x,y，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z) 为通过曲面 的流体（稳定流动且不可压缩）在 上的点（x,y,z）处的速度。则
表示在单位时间内从 的一侧流向指定的另一侧的流量。
2、曲线（面）积分的性质
两类积分均有与重积分类似的性质
（1） 被积函数中的常数因子可提到积分号的外面
（2） 对积分弧段（积分曲面）都具有可加性
（3） 代数和的积分等与积分的代数和
第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关
=
3、曲线（面）积分的计算
（1） 曲线积分的计算
a、 依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示
b、 第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限
（2） 曲面积分的计算方法
1、 第一类曲面积分的计算
a 将积分曲面 投向使投影面积非零的坐标面
b 将 的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。
C 将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素
2、 第二类曲面积分的计算
a 将积分曲面 投向指定的坐标面
b 同1
c 依 的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”
4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
（1） 格林公式
其中P、Q在闭区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线。若闭区域D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数，则
=
其中 （=1，2……n）均是D的正向边界曲线。
（2） 高斯公式
= ）dxdydz
其中P、Q、R在闭区域 上有一阶连续偏导数， 是Q的边界曲面的外侧
（3） 斯托克斯公式
=
其中P、Q、R在包含曲面 在内的空间区域内具有一阶连续偏导数， 是以 为边界的分片光滑曲面， 的正向与 的侧向符合右手规则。
5、平面上曲线积分与路径无关的条件
设P、Q在开单连同区域G内有一阶连续偏导数，A、B为G内任意两点，则以下命题等价：
（1） 与路径L无关
（2）对于G内任意闭曲线L,
(3) 在G内处处成立
（4）在G内，Pdx+Qdy为某函数U(x,y)的全微分
6、通量与散度、环流量与旋度
设向量
=P(x,y，z) +Q(x,y,z) + R(x,y,z)
则通量（或流量） =
其中 =（cos , cos , cos ）为 上点（x,y,z）处的单位法向量。
散度
div = + 对坐标的曲面积分与 的形状无关的充要条件是散度为零。
旋度
环流量 向量场 沿有向闭曲线 的环流量为
=
四、 难点解析
本章中对 在xoy面上的投影（ 为
（ =
其中 为有向曲面 上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦。 为 在xoy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。
五、 典型例题
例1、计算 ：圆周
解：由轮换对成性，得
= = = =
例2、设L： 为成平面区域D,计算
解： （格林公式） = =
例3、求 ，其中 为曲面 的外侧。
解法一、将 分为上半球面 ： 和下半球面 ：
解法二、利用高斯公式
= ）dxdydz=0 （对称性）
例4、求曲线y= 及 所围成的图形的面积。
解：求曲线的交点B(1，1)，C( , )
法一、定积分法 则所求面积为
A= + = =
法二、二重积分法 设所给曲线围成的闭区域为D.则
A= = + = + =
法三、曲线积分法 设所给曲线围成的图形的边界曲线为L，则
A= = = + +
= +（ ）=
例5、计算 ，L：从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周 。
解：法一 用曲线积分与路径无关
因为 在xoy面上恒成立，且 及 在xoy面上连续，所以曲线积分 与路径无关。
于是 = = =0
法二、用曲线积分与路径无关，则
=0 （其中C(0,R)）
法三、用曲线积分与路径无关，则
= = = =0
法四、用格林公式
因为 且 及 在闭曲线ACBA上围成的闭区域D上连续。故由格林公式得
= =0
于是 =0 =0
法五、用定积分计算，则L的参数方程为
，L的起点A对应与 ，综点对应于 ，于是
= = = =0
例六、计算对坐标的曲面积分
其中 是 的下侧
解：设 为平面Z=h被锥面 所围成部分的上侧。则
= dxdydz
= ）dxdydz=0
又 = = =0
所以 原式= =0-0=0
六．曲线积分与曲面积分自测题
一、填空：（4 5分）
1、
其中L为正向星形线
2、L为xoy面内直线x=a上的一段，则
3、设 = + + ，则div =
4、 =
其中 ：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。
二、选择题（4 5分）
1、 设 =P(x,y) +Q(x,y) ，（x,y） D,且P、Q在区域D内具有一阶连续偏导数，又L： 是D内任一曲线，则以下4个命题中，错误的是
A 若 与路径无关，则在D内必有
B 若 与路径无关，则在D内必有单值函数u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
C 若在D内 ，则必有 与路径无关
D 若对D内有一必曲线C，恒有 ，则 与路径无关
2、 已知 为某函数的全微分，则a等于
A - 1 ; B 0; C 1; D 2;
3、 设曲线积分 与路径无关，其中 具有连续得到数，且 =0，则 等于
A ; B ; C ; D 1;
4、设空间区域 由曲面 平面z=0围成，其中a为正常数，记 的表面外侧为S, 的体积为V，则
A 0 ; B V; C 2V; D 3V;
三、计算（6 10）
1、 计算I= ,其中 为圆周：
2、 计算曲线积分 其中L为圆周 ，L的方向为逆时针方向。
3、 计算 其中L是在圆周 上点（0，0）到点（1，1）的一段弧。
4、 算曲面积分
I=
其中 为圆周： （ 绕y轴旋转一周所生成的曲面，它的法向量与y轴正向的夹角恒大于 。
5、 正面（ 在整个xoy面上是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数u(x,y)。
6、 在由点（- ，0）到点（ ，0）的曲线族y=acosx(a.>0)中，求一条曲线L,使 的值最小。
