对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多
科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，
德国的
数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、
试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的
玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成
半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向
对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。
麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小
甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。
做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.
实验一 如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈
一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。
实验二 如果在纸条上划两条线，把纸条三
等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。
有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。
关于麦比乌斯圈的单侧性，可如下直观地了解，如果给麦比乌斯圈着色，色笔始终沿曲面移动，且不越过它的边界，最后可把麦比乌斯圈两面均涂上颜色 ，即区分不出何是正面，何是反面。对圆柱面则不同，在一侧着色不通过边界不可能对另一侧也着色。单侧性又称不可定向性。以曲面上除边缘外的每一点为
圆心各画一个小圆，对每个小圆周指定一个方向，称为相伴麦比乌斯圈
单侧曲面圆心点的指向，若能使相邻两点相伴的
指向相同，则称曲面可定向，否则称为不可定向。麦比乌斯圈是不可定向的。
